Апология математика

Первый вопрос часто оказывается очень трудным, а ответ на него — обескураживающим, но несмотря на это большинство людей находят второй вопрос достаточно лёгким. Их ответы, если они честны, обычно принимают ту или другую из двух форм, причём вторая форма является всего лишь более скромной вариацией первой, которую нам надлежит рассмотреть серьёзно.

(1) «Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что это единственное что я умею делать хорошо. Я адвокат, биржевой брокер или профессиональный крикетист потому, что обладаю некоторым талантом, позволяющим мне выполнять именно данную конкретную работу. Я адвокат потому, что у меня хорошо подвешен язык и меня интересуют всякого рода юридические тонкости. Я биржевой брокер потому, что могу быстро и точно оценивать ситуацию на рынке ценных бумаг. Я профессиональный крикетист потому, что могу очень хорошо играть в крикет. Я признаю, что быть поэтом или математиком возможно и лучше, но к сожалению не обладаю талантом для занятий поэзией или математикой».

Я отнюдь не утверждаю, будто большинство людей может выдвигать такие аргументы в своё оправдание, так как большинство людей вообще не умеют ничего делать хорошо. Но подобная апологетика становится несокрушимой, если её можно выдвинуть, не впадая при этом в противоречие, как это умеет делать незначительное меньшинство людей: возможно, пять или даже десять процентов людей могут делать что-то сравнительно неплохо, очень мало людей умеет делать что-то действительно хорошо, а число тех, кто умеет хорошо делать две вещи, пренебрежимо мало. Если человек обладает настоящим талантом, то ему следует без раздумий идти на почти любые жертвы, чтобы развить свой талант полностью.

Подобную точку зрения разделяет [английский писатель, составитель «Словаря английского языка»] д-р Джонсон.

Когда я сказал ему, что мне приходилось видеть, как [его тезка] Джонсон скакал одновременно на трёх лошадях, он ответил: «Такого человека, сэр, следовало бы поощрять, сэр, ибо то, что он делает, показывает пределы человеческих возможностей».

Ясно, что д-р Джонсон аплодировал бы альпинистам, пловцам, переплывающим Ла-Манш и шахматистам, играющим вслепую. Со своей стороны я полностью одобряю все попытки такого рода, направленные на замечательные достижения. Я с большой симпатией отношусь даже к фокусникам и чревовещателям, и когда [чемпион мира по шахматам] Алехин и Брэдмен идут на побитие рекорда, я испытываю глубочайшее разочарование, если они терпят неудачу. В этом и д-р Джонсон, и я полностью солидарны с широкой публикой. Как очень точно выразился [живописец и график] У. Тёрнер, только «высоколобые» (в негативном смысле) не восхищаются настоящими «большими людьми».

Разумеется, нельзя не учитывать то, что различные виды деятельности имеют различную ценность. Я предпочёл бы быть романистом или художником, чем государственным деятелем того же ранга; существует немало дорог к известности, которые большинство из нас отвергает как совершенно неприемлемые. Однако при выборе человеком карьеры различия в ценности той или иной профессии редко служат опорной шкалой: выбор рода деятельности почти всегда диктуется ограничениями природных способностей человека. Поэзия обладает более высокой ценностью, чем крикет, но Брэдмен был бы последним дураком, если бы пожертвовал крикетом, чтобы стать автором второсортных и незначительных поэтических произведений (я считаю маловероятным, чтобы в области поэзии он был способен на большее). Если бы Брэдмен играл в крикет не столь блестяще, а его успехи в области поэзии были бы более значительными, то выбор мог бы оказаться более затруднительным. Не знаю, кем бы я хотел стать: Виктором Трампером или Рупертом Бруком. К счастью, такого рода дилеммы возникают очень редко.

Могу добавить, что возникновение таких дилемм перед математиком маловероятно. Различия между мыслительными процессами, протекающими у математиков и других людей, обычно сильно преувеличены, однако нельзя отрицать, что математические способности — талант весьма особого рода и что математики как класс не отличаются ничем особенным от остальных людей ни по части общих способностей, ни быстротой мышления. Если человек в каком-то смысле настоящий математик, то сто шансов против одного, что в математике он достигнет гораздо большего, чем в другой области, и было бы глупо, если бы он поддался любой обманчивой возможности проявить свой талант для того, чтобы сделать что-нибудь невыдающееся в других областях. Такую жертву можно было оправдать разве что экономической необходимостью или возрастом.

[…]

Существует также то, что я бы назвал «более скромной вариацией» стандартной апологии, но от неё можно отделаться буквально в несколько слов.

(2) «Нет ничего, что я мог бы делать особенно хорошо. Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что мне пришлось этим заниматься. В действительности мне никогда не представлялась возможность заняться чем-нибудь другим». Эту апологию я также воспринимаю как убедительную. Абсолютная истина состоит в том, что большинство людей ничего не может делать хорошо. Коль скоро это так, то не имеет особого значения, какую карьеру они выбирают, и говорить об этом больше нечего. Это вполне убедительный ответ, но его вряд ли даст человек, обладающий хотя бы в какой-то степени гордостью, и я могу предположить, что ни один из нас не согласился бы с таким ответом.

* * *

«Общность» — многозначное и весьма опасное слово, и мы должны тщательно следить за тем, чтобы оно не слишком доминировало в наших обсуждениях. Оно используется в различных смыслах и в математике и в литературе о математике, и на общности, понимаемой в одном из смыслов, логики делают особый акцент, хотя для нас такое понимание логиков здесь полностью неуместно. В этом смысле, как нетрудно доказать, все математические теоремы обладают одинаковой и полной «общностью».

«Определённость математики, — говорит Уайтхед, — зависит от её совершенно абстрактной общности». Когда мы утверждаем, что 2+3=5, мы говорим об отношении между тремя группами «вещей», и эти «вещи» — не яблоки, монеты или вещи того или иного вполне определённого рода, а просто «вещи», «любые виды вещей». Смысл утверждения совершенно не зависит от индивидуальностей членов групп. Все математические «объекты», «сущности» или «отношения», такие, как «2», «3», «5», «+" или «=», и все математические предложения, в которые они входят, носят совершенно общий характер в том смысле, что они совершенно абстрактны. Одно из слов в утверждении Уайтхеда излишне, так как общность в этом смысле есть абстрактность.

Этот смысл слова «общность» важен, и логики поступают вполне справедливо, подчёркивая его, так как он воплощает в себя трюизм, о котором весьма многие из тех, кто должен был бы разбираться в этом лучше, склонны забывать. Например, нередко приходится слышать, как какой-нибудь астроном или физик заявляет, будто ему удалось найти «математическое доказательство» того, что физическая Вселенная должна вести себя так, а не иначе. Все такие заявления, если интерпретировать их буквально, представляют собой абсолютный нонсенс. Невозможно доказать математически, что завтра произойдёт солнечное или лунное затмение потому, что затмения и другие физические явления не входят в качестве составных частей в абстрактный мир математики. Я убеждён, что все астрономы были бы вынуждены признать правильность этого утверждения, сколько бы затмений они ни предсказали до этого.

Ясно, что сейчас нас интересует «общность» иного рода. Мы ищем различия в общности математических теорем, которые в смысле Уайтхеда все обладают одинаковой общностью. Таким образом, «тривиальные» теоремы (а) и (в) из § 15 столь же «абстрактны» или «общи», как теоремы Евклида и Пифагора и как любая шахматная задача. Для шахматной проблемы безразлично, какого цвета фигуры — белые и чёрные или красные и зелёные и, вообще, существуют ли физические «фигуры». Во всех этих случаях мы имеем дело с одой и той же задачей, которую знаток легко держит в голове, а нам приходится трудолюбиво воспроизводить на шахматной доске. Нужно сказать, что шахматная доска и фигуры — всего лишь устройства, стимулирующие наше вялое воображение и имеющие к сути проблемы ничуть не больше отношения, чем доска и мел — к теоремам, доказываемым на лекции по математике.

Речь идёт не о той общности, которая присуща всем математическим теоремам, поиском которой мы занимались до сих пор. Сейчас нас интересует та, более тонкая и неуловимая, общность, которую я попытался в общих чертах описать [ранее]. И нам следует тщательно следить за тем, чтобы не делать чрезмерный акцент даже на такой общности (как это имеют обыкновение делать логики, например, Уайтхед). Это не просто «нагромождение тонкостей обобщения на тонкости обобщения», принадлежащее к числу выдающихся достижений современной математики. Некоторая мера общности должна присутствовать в любой теореме высокого класса, но чрезмерная дозировка общности неизбежно приводит к «бесцветности» теоремы. «Всё есть то, что оно есть, а не другое», и различия между вещами не менее интересны, чем сходство между ними. Мы выбираем своих друзей не потому, что они воплощают в себя все приятные качества, какие только могут быть присущи людям, а потому, что они являются теми, кто они есть. Так происходит и в математике; свойство, общее для слишком многих объектов, вряд ли может быть очень интересным, и математические идеи также становятся скучными, если не обладают индивидуальностью в достаточной мере. Здесь я по крайней мере могу процитировать Уайтхеда, выступающего в данном случае на моей стороне: «Плодотворная концепция заключается в широком обобщении, ограниченном удачной конкретизацией».

* * *

Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, — её глубина. Определить его ещё труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; «более глубокие» идеи обычно труднее постичь, но вместе с тем это не одно и то же. Идеи, лежащие в основании теоремы Пифагора и её обобщений весьма глубоки, но современный математик не счёл бы их трудными. С другой стороны, теорема может быть в сущности поверхностна, но очень трудна для доказательства (таковы, например, очень многие «диофантовы» теоремы, т. е. теоремы о решении уравнений в целых числах).

Создаётся впечатление, что математические идеи «стратифицированы», т. е. расположены как бы слоями, идеи в каждом слое связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея. Так, идея «иррационального числа» глубже идеи целого числа, и по этой причине теорема Пифагора глубже теоремы Евклида.

Сосредоточим внимание на отношениях между целыми числами или в какой-нибудь другой группе объектов, лежащих в каком-нибудь конкретном слое. Может случиться так, что одно из этих отношений окажется полностью понятным, что мы сможем распознать и доказать, например, какое-нибудь свойство целых чисел, не зная о содержании слоев, расположенных ниже. Так, теорему Евклида мы доказали, рассматривая только свойства целых чисел. Но существует также немало теорем о целых числах, которые мы не можем должным образом оценить и ещё в меньшей степени доказать, не «копая» глубже и не выясняя того, что происходит в лежащих ниже слоях.

Нетрудно привести соответствующие примеры из теории простых чисел. Теорема Евклида очень важна, но не отличается особой глубиной: мы можем доказать, что существует бесконечно много простых чисел, не пользуясь ничем глубже понятия «делимости». Но как только мы узнаем, что простых чисел бесконечно много, сразу же возникают новые вопросы. Да, простых чисел бесконечно много, но как они распределены? Пусть N — некоторое большое число, например,10⁸⁰ или 10 в степени 10¹⁰. Сколько существует простых чисел, не превосходящих числа N? (Ранее я упомянул о том, что существует 50 847 478 простых чисел, не превосходящих числа 1 000 000 000, но это предел, до которого простирается наше точное значение.) Стоит нам задать эти вопросы, как мы оказываемся в совершенно ином положении. Мы в состоянии ответить на них с поразительной точностью, но только если копнем глубже, оставив на время в стороне целые числа, и воспользуемся самым мощным оружием современной теории функций. Таким образом, теорема, дающая ответ на наши вопросы (так называемая «теорема о распределении простых чисел»), гораздо глубже теоремы Евклида или даже теоремы Пифагора.

Я мог бы легко увеличить число примеров, но понятие «глубины» неуловимо даже для математика, способного его распознать, и вряд ли я могу сказать ещё что-нибудь об этом понятии, что будет особенно полезным читателям-неспециалистам.

Ныне жизнь моя, если иметь в виду то, ради чего стоит жить, закончена, и я не могу сделать ничего такого, что бы сколь-нибудь значительно увеличило или уменьшило её ценность. Очень трудно быть беспристрастным, но я считаю, что моя жизнь прожита «успешно». Я был достаточно вознаграждён — не меньше, чем причитается человеку моих способностей. Я занимал ряд приличных и «престижных» постов. Не имел никаких хлопот, связанных с утомительной университетской рутиной. Я ненавидел «преподавание», и мне пришлось очень мало им заниматься. То, что выпало на мою долю по части преподавания, сводилось почти исключительно к руководству исследованиями. Я любил читать лекции и читал много лекций чрезвычайно способным студентам, и у меня всегда оставалось много свободного времени для собственных работ, которые служили великим и неизбывным счастьем моей жизни. Оказалось, что я легко могу работать с другими, и мне выпало основательно посотрудничать с двумя исключительными математиками. Это позволило мне внести в математику гораздо больший вклад, чем я мог бы рассчитывать в разумных пределах. Как и у любого другого математика, у меня были разочарования, но ни одно из них не было слишком серьёзным и не сделало меня особенно несчастным. Если бы мне предложили прожить такую же жизнь, не лучше и не хуже, когда мне было бы двадцать лет, то я согласился бы без малейших колебаний.

Было бы абсурдно полагать, будто я мог бы «добиться большего». Я не обладаю ни лингвистическими ни артистическими способностями и не питаю ни малейшего интереса к экспериментальной науке. Я мог бы быть сносным философом, но не очень оригинальным. Полагаю, что из меня мог бы получиться хороший адвокат, но журналистика — единственная профессия вне академической жизни, в которой я реально мог бы иметь шанс на успех. Нет сомнения в том, что я правильно выбрал профессию математика, если судить по критерию, который принято называть успехом.

Итак, если я хотел разумно комфортной и счастливой жизни, то мой выбор был правильным. Но адвокаты, биржевые брокеры и букмекеры нередко тоже ведут комфортную и счастливую жизнь, и что-то не видно, чтобы мир становился богаче от их существования. Есть ли какой-нибудь смысл в моём утверждении, что моя жизнь была менее тщетной, чем их? И снова я вижу лишь один возможный ответ: возможно, есть, но если это и так, то лишь по одной причине.

Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира. Я помогал воспитывать других математиков, но математиков такого же рода, как и я сам, и их работы, во всяком случае в той части, в которой я помогал им, были столь же бесполезны, как и мои собственные работы. По любым практическим меркам ценность моей математической жизни равна нулю, а вне математики она, так или иначе, тривиальна. У меня есть лишь один шанс избежать вердикта полной тривиальности — если будет признано, что я создал нечто такое, что заслуживает быть созданным. А в том, что мне удалось создать нечто такое, нет сомнения: вопрос заключается лишь в том, насколько ценно то, что я создал.

Смысл моей жизни или жизни кого-нибудь ещё, кто был математиком в том же смысле, в каком был математиком я, заключается в следующем: я внёс нечто своё в сокровищницу знания и помог другим сделать то же, и эти «нечто» обладали ценностью, которая отличалась только величиной, но никак не сущностью, от творений великих математиков или любых других художников, больших и малых, которые оставили после себя нерукотворные памятники.